完备定理
任何个足够强
致公设系统,必定是不完备
。
即除非这个系统很简单,(所以能叙述不多),或是包含矛盾
,否则必有
真
叙述不能被证明。
第二不完备定理
任何个足够强
致公设系统,必无法证明本身
致性。
所以除非这个系统很简单,否则你若在此系统性,证明本身
致性,反而已显出它是不
致
。
戈德尔证明过程相当复杂,而其中最核心
概念,是古典希腊哲学中
个有名
诡论(paradox):说谎者诡论。纪元前6世纪希腊时代
个诗人哲学家Epimenides说
句很有名
话:「所有
克里特岛人都是说谎
。」这句话有名倒不是因为它是真理,正好相反,因为它
定是错
,为什
是错
呢?因为说这句话
人Epimenides就是克里特岛人,同样
句话,别人说也可能是对
,(希望不致冒犯
克里特岛人),但是由克里特岛人来说,就
定是错
,为什
呢?若这句话是真
,则Epimenides没有说谎,和这句话矛盾,所以这句话是假
。
们再举
个例子来说明这个诡论。
A:B这句话是真。
B:A这句话是假。
们可能会认为A(或B)这句话非真即假,且让
们来看看是否如此,假设A这句话是真
,即表示B这句话是真
,故「A这句话是假
」是真
,故A这句话是假
,和假设矛盾。
们现在假设A这句话是假
,则「B这句话是真
」是假
,故B这句话是假
,所以「A这句话是假
」是假
,即A这句话是真
,这又和
们
假设矛盾,结论是,A不论是真是假都得到矛盾,大家若有兴趣,不妨从B句开始,亦得到相同
结果,这就是它之所以被称为诡论
缘由。
戈德尔是如何利用这个概念呢?若说:「这句话是假。」那
利用前面
论证,这句话是矛盾
,所以任何
个
致
公设系统都无法说出这句话来,而戈德尔将上面
这句话改为「这句话不能被证明。」
注意,「真」和「能被证明」并不相等,同样「假」和「不能被证明」亦不相等。戈德尔证明在皮亚诺公设内,(其实不需要用到这
强
公设)可以说出「这句话不能被证明」,若愿意接受这件事,
们即可证明不完备定理
,为证明方便,
们称「这句话不能被证明」为A,若在此系统内A被证明
,则由A
意义,即A不能被证明,知道「A」是假
,而在此系统内证明
个假
叙述,表示此系统是不
致
,故若此系统是
致
,则A不能被证明,则由A
意义得知
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